高専生専門のオンライン塾「さかのうえの塾」塾長の坂上です。これまで指導してきた高専２年生からよく聞く悩みの一つは…
積分がそもそも何をしているのかがいまいち分からない
というものです。この悩み、教科書の構成で
①微分②不定積分③定積分の「つながり」
をしっかり把握しておくことでほぼ解決します。今回は全国の高専で一番採用されている教科書「大日本図書」の「新微分積分１」アプローチの流れに沿ってこの点を解説していきます！
「傾き」の逆が「面積」って本当？
まず微分は「傾き」を求める数学というのは前提で話を進めていきます。
私がこれまで教えた子たちもそうですが、多くの高専生が「積分は微分の逆で、面積を求める数学」と覚えているようです。完全に間違いではないのですが…
「傾き」の逆が「面積」ってイメージできますか？
恐らくピンとこないと思います。むしろピンと来なくて当然です「傾き」と「面積」は逆の関係にはないのですから…
では微分と積分は逆なのに傾きと面積は逆ではない？どういうこと？
これを理解するにはまずは①微分②不定積分③定積分のジャンル分けについて押さえておくことが必要です。
正しい線引きは「微分」「不定積分」と「定積分」
①微分②不定積分③定積分
これを大きく二つに分けるとどう分けられるでしょうか？
これまで私が教えた高専生たちがこの質問にほぼ100％答えるのは「微分」と「不定積分」「定積分」という分け方です。でも、このジャンル分けでは理解が曖昧になってしまいます。
正しい分け方は…「微分」「不定積分」と「定積分」です。大日本図書の微積１の教科書ではp86の前後で、高専テキストシリーズではp106の前後で分けられています。
なぜこの区切りで理解するのが正しいのでしょうか？
微分と不定積分は「展開と因数分解」と同じ関係！
前に触れた通り、微分は「傾きを求める数学」です。
それに対し不定積分は「微分される前の元の関数を求める数学」です（原始関数）。
その意味で、「微分と不定積分」は「展開と因数分解」と似た関係にあります。微分が展開ならば、不定積分は展開されたものを元にもどす因数分解に相当します。
例えば…
簡単な微分の例として、 \((x^2)’=2x\) ですね。\(y=x^2\) のグラフの全ての場所の傾きを表現したのが\(2x\)ということです。
それに対し不定積分 \(\int 2x dx=x^2\) は全ての場所での傾きが\(2x\)になるような、そんな元の式を求めると\(x^2\)が見えてくる、という意味です（本質だけ伝えるため積分定数は省略）
それで展開と因数分解が同ジャンルなように、微分と不定積分も同ジャンルです。
面積を求める数学は「区分求積法」で元々微積とは関係ない
次に定積分について考えますが、まずは数学の歴史から考えましょう。
元々「傾きを求める数学(微分)」と、「面積を求める数学」は全く別ジャンルの数学でした。
面積を求める数学は「区分求積法」が元々のジャンルです
区分求積法とは、グラフとx軸で囲まれた面を短冊で区切って、その短冊の幅を限りなくゼロに近づけることで線を足したイメージにして正確な面積を求める。という数学です。
こんな感じのイメージで、大日本図書ではp86-87、高専テキストシリーズではp106で取り上げられています。
ただ、この区分求積法を突き詰めていくうちに、面倒な計算をしなくても「不定積分の答えを活用すれば一発で答えが出る」と、積分と思わぬところで繋がりました。繋いでくれたのは「微分積分の」
コメント